【題目】已知函數(shù)，.

（1）存在，對任意，有不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）如果存在、，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（3）對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，以及利用指數(shù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出關于實數(shù)的不等式，解出即可；

（2）由題意可得，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，即可求得滿足條件的最大整數(shù)的值；

（3）由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域為函數(shù)在區(qū)間上值域的子集，分別求出這兩個函數(shù)在區(qū)間上的值域，利用集合的包含關系可得出關于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍.

（1）存在，對任意，有不等式成立，則.

，則對任意的恒成立，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，.

函數(shù)在區(qū)間上的單調遞減，所以，.

所以，，解得.

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（2）存在、，使得成立，則，

即，

由（1）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則，，

，滿足條件的最大整數(shù)的值為；

（3）對任意，存在，使得成立，

則函數(shù)在區(qū)間上的值域為函數(shù)在區(qū)間上值域的子集，

由（2）可知，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

由題意可得，

則，解得.

因此，實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值；

（2）估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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