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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)｛a_n｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S_n是前n項(xiàng)和.

（Ⅰ）證明：＜lgS_n_＋₁；

（Ⅱ）是否存在常數(shù)C＞0使得=lg（S_n₊₁－C）成立?并證明你的結(jié)論.

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：設(shè)｛a_n｝的公比為q，由題設(shè)知a₁＞0，q＞0

（ⅰ）當(dāng)q=1時，S_n=a₁n，從而

S_nS_n₊₂－S_n₊₁²=a₁n（n+2）a₁－（n+1）²a₁²=－a₁²＜0

（ⅱ）當(dāng)q≠1時，S_n=，從而

S_nS_n₊₂－S_n₊₁²==－a₁²qⁿ＜0

由（�。┖停áⅲ┑�S_nS_n₊₂＜S_n₊₁²

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知lg（S_nS_n₊₂）＜lgS_n₊₁²

即＜lgS_n₊₁.

（Ⅱ）解：不存在.

證法一：要使=lg（S_n₊₁－C）成立，則有

①②

分兩種情況討論：

（ⅰ）當(dāng)q=1時，

（S_n－C）（S_n₊₂－C）－（S_n₊₁－C）²＝

（a₁n－C）［a₁（n+2）－C］－［a₁（n+1）－C］²

=－a₁²＜0

可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)C＞0，使結(jié)論成立.

（ⅱ）當(dāng)q≠1時，

（S_n－C）（S_n₊₂－C）－（S_n₊₁－C）²

因a₁qⁿ≠0，若條件①成立，故只能是a₁－C（1－q）=0，即C=，此時因?yàn)?i>C＞0，a₁＞0，所以0＜q＜1，但是0＜q＜1時，S_n－＜0，不滿足條件②，即不存在常數(shù)C＞0，使結(jié)論成立.

綜合（�。ⅲáⅲ�，同時滿足條件①，②的常數(shù)C＞0不存在，即不存在常數(shù)C＞0，

使=lg（S_n_＋₁－C）

證法二：用反證法，假設(shè)存在常數(shù)C＞0，使

①②③

④

則有

由④得S_nS_n₊₂－S_n₊₁²=C（S_n+S_n₊₂－2S_n₊₁⑤

根據(jù)平均值不等式及①、②、③、④知

S_n+S_n₊₂－2S_n₊₁=（S_n－C）+（S_n₊₂－C）－2（S_n₊1－C）

≥－2（S_n₊₁－C）=0

因?yàn)?i>C＞0，故⑤式右端非負(fù)，而由（Ⅰ）知，⑤式左端小于零，矛盾，

故不存在常數(shù)C＜0，使=lg（S_n₊₁－C）.

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（12分）設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和
（1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式SpSq＜S成立；
（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由。