Question

設｛a_n｝是由正數組成的等比數列，S_n是前n項和.

（Ⅰ）證明：＜lgS_n＋1；

（Ⅱ）是否存在常數C＞0使得=lg（S_n+1－C）成立?并證明你的結論.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：設｛an｝的公比為q，由題設知a1＞0，q＞0 （�。┊�q=1時，Sn=a1n，從而 SnSn+2－Sn+12=a1n（n+2）a1－（n+1）2a12=－a12＜0 （ⅱ）當q≠1時，Sn=，從而 SnSn+2－Sn+12==－a12qn＜0 由（�。┖停áⅲ┑�SnSn+2＜Sn+12 根據對數函數的單調性知lg（SnSn+2）＜lgSn+12 即＜lgSn+1. （Ⅱ）解：不存在. 證法一：要使=lg（Sn+1－C）成立，則有 　　 　　 　　 ①② 　　 　　   分兩種情況討論： （�。┊�q=1時， （Sn－C）（Sn+2－C）－（Sn+1－C）2＝ （a1n－C）［a1（n+2）－C］－［a1（n+1）－C］2 =－a12＜0 可知，不滿足條件①，即不存在常數C＞0，使結論成立. （ⅱ）當q≠1時， （Sn－C）（Sn+2－C）－（Sn+1－C）2 因a1qn≠0，若條件①成立，故只能是a1－C（1－q）=0，即C=，此時因為C＞0，a1＞0，所以0＜q＜1，但是0＜q＜1時，Sn－＜0，不滿足條件②，即不存在常數C＞0，使結論成立. 綜合（�。�、（ⅱ），同時滿足條件①，②的常數C＞0不存在，即不存在常數C＞0， 使=lg（Sn＋1－C） 證法二：用反證法，假設存在常數C＞0，使 　　 　　 　　 ①②③ 　　   　　 ④ 　　 　　   則有 由④得SnSn+2－Sn+12=C（Sn+Sn+2－2Sn+1        ⑤ 根據平均值不等式及①、②、③、④知 Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn－C）+（Sn+2－C）－2（Sn+1－C） ≥－2（Sn+1－C）=0 因為C＞0，故⑤式右端非負，而由（Ⅰ）知，⑤式左端小于零，矛盾， 故不存在常數C＜0，使=lg（Sn+1－C）.