Question

13．已知圓C與直線$x+y-2\sqrt{2}=0$相切，圓心在x軸上，且直線y=x被圓C截得的弦長為$4\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）過點M（-1，0）作斜率為k的直線l與圓C交于A，B兩點，若直線OA與OB的斜率乘積為m，且$\frac{m}{k^2}=-3-\sqrt{2}$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+y²=r²（r＞0），圓心到直線y=x的距離為$\frac{\left|a\right|}{{\sqrt{2}}}$，由直線y=x被圓C截得的弦長為$4\sqrt{2}$，圓C與直線$x+y-2\sqrt{2}=0$相切，能求出圓C的方程．（2）直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}=9}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得$（{k^2}+1）{x^2}+（2{k^2}+2\sqrt{2}）x+{k^2}-7=0$，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：（1）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+y²=r²（r＞0），
則圓心到直線y=x的距離為$\frac{\left|a\right|}{{\sqrt{2}}}$，
由直線y=x被圓C截得的弦長為$4\sqrt{2}$，
得$4\sqrt{2}=2\sqrt{{r^2}-{{（\frac{\left|a\right|}{{\sqrt{2}}}）}^2}}$，即${r^2}-\frac{a^2}{2}=8$，①…（2分）
由圓C與直線$x+y-2\sqrt{2}=0$相切，
得$\frac{{\left|{a-2\sqrt{2}}\right|}}{{\sqrt{2}}}=r$，即${r^2}=\frac{{{{（a-2\sqrt{2}）}^2}}}{2}$②，…（4分）
由①②及r＞0，解得$a=-\sqrt{2}，r=3$，
故圓C的方程為${（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=9$．…（6分）
（2）直線l的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}=9}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，
得$（{k^2}+1）{x^2}+（2{k^2}+2\sqrt{2}）x+{k^2}-7=0$，
直線l與圓C交于A，B兩點，
$△={（2{k^2}+2\sqrt{2}）^2}-4（{k^2}+1）（{k^2}-7）=（8\sqrt{2}+24）{k^2}+36＞0$恒成立…（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{-2{k^2}-2\sqrt{2}}}{{{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-7}}{{{k^2}+1}}$，
則${y_1}{y_2}={k^2}（{x_1}+1）（{x_2}+1）={k^2}[{{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1}]$，
∴$m=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}[{{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1}]}}{{{x_1}{x_2}}}$，
則$\frac{m}{k^2}=\frac{{{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1}}{{{x_1}{x_2}}}=1+\frac{{{x_1}+{x_2}+1}}{{{x_1}{x_2}}}=1+\frac{{\frac{{-2{k^2}-2\sqrt{2}}}{{{k^2}+1}}+1}}{{\frac{{{k^2}-7}}{{{k^2}+1}}}}=\frac{{-2\sqrt{2}-6}}{{{k^2}-7}}=-3-\sqrt{2}$，
故k²=9…（10分）
則${x_1}{x_2}=\frac{9-7}{9+1}=\frac{1}{5}，{x_1}+{x_2}=\frac{{-2×9-2\sqrt{2}}}{9+1}=\frac{{-9-\sqrt{2}}}{5}$，${y_1}{y_2}=9×（\frac{1}{5}+\frac{{-9-\sqrt{2}}}{5}+1）=-\frac{{27+9\sqrt{2}}}{5}$，
故$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{26+9\sqrt{2}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查圓的方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積公式的合理運用．