Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x²+2x．
（1）寫出函數(shù)f（x）在x∈R的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（-x）=f（x），且當x≥0時f（x）=x²+2x．可求出x＜0時函數(shù)f（x）的解析式，綜合可得函數(shù)f（x）的解析式
（2）根據(jù)（1）可得函數(shù)g（x）的解析式，結合二次函數(shù)的圖象和性質，對a進行分類討論，進而可得函數(shù)g（x）的最小值的表達式．

解答： 解：（ 1）當x＜0時，-x＞0，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故f（-x）=f（x），且當x≥0時，f（x）=x²+2x…（2分）
所以f（x）=f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，…（4分）
所以f（x）=

x2+2x，x≥0 x2-2x，x＜0

，
（2）∵g（x）=f（x）-2ax+2=x²+2（1-a）x+2的圖象開口朝上且以直線x=a-1為對稱，
又∵x∈[1，2]，
當a-1≤1時，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)，故當x=1時，g（x）取最小值5-2a，
當1＜a-1≤2時，g（x）在[1，a-1]上為減函數(shù)，在[a-1，2]上為增函數(shù)，故當x=a-1時，g（x）取最小值-a²+2a+1，
當a-1＞2時，g（x）在[1，2]上為減函數(shù)，故當x=2時，g（x）取最小值10-4a，
綜上：函數(shù)g（x）的最小值為

5-2a，a≤2 -a2+2a+2，2＜a≤3 10-4a，a＞3

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，是二次函數(shù)圖象與性質與奇偶性的綜合考查，難度不大，屬于基礎題．