Question

已知函數(shù)f（x）=x-m

x

+5，當(dāng)1≤x≤9時，f（x）＞1有恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A、m＜

  13

  3

• B、m＜5
• C、m＜4
• D、m≤5

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：令t=

x

，則由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由題意可得f（x）=g（t）=t²-mt+5＞1在[1，3]上恒成立，即g_min（t）＞1．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：令t=

x

，則由1≤x≤9可得t∈[1，3]，
由題意可得f（x）=g（t）=t²-mt+5=(t-

m

2

)2+5-

t2

4

＞1在[1，3]上恒成立，
故有g(shù)_min（t）＞1．
①當(dāng)

m

2

＜1時，函數(shù)g（t）在[1，3]上單調(diào)遞增，函數(shù)g（t）的最小值為g（1）=6-m，
由6-m＞1，求得m＜5，綜合可得m＜2．
②當(dāng)

m

2

∈[1，3]時，函數(shù)g（t）在[1，

m

2

]上單調(diào)遞減，在（

m

2

 3]上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（t）的最小值為g（

m

2

）=5-

t2

4

＞1，由此求得-4＜t＜4，綜合可得2≤m＜4．
③當(dāng)

m

2

＞3時，函數(shù)g（t）在[1，3]上單調(diào)遞減，函數(shù)g（t）的最小值為g（3）=14-3m，
由14-3m＞1，求得m＜

13

3

，綜合可得m無解．
綜上可得，m＜4．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．