Question

12．甲袋中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙袋中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以A₁，A₂和A₃表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙袋中隨機取出一球，以B表示由乙袋取出的球是紅球的事件．則下列結論①P（B）=$\frac{9}{22}$；②P（B|A₁）=$\frac{2}{5}$；③事件B與事件A₁相互獨立；④A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件．
其中正確的是①④（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

分析 由題意A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件，由條件概率公式求出P（B|A₁），P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B），對照四個命題進行判斷找出正確命題，選出正確選項．

解答 解：由題意A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件，P（A₁）=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，P（A₃）=$\frac{3}{10}$，
P（B|A₁）=$\frac{P（B{A}_{1}）}{P（{A}_{1}）}$=$\frac{\frac{5}{11}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{11}$，
由此知，②錯誤；
P（B|A₂）=$\frac{4}{11}$，P（B|A₃）=$\frac{4}{11}$；
而P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B）
=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）=
$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{11}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}×\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}×\frac{4}{11}$=$\frac{9}{22}$，
由此知①正確，③錯誤．
∵A₁，A₂，A₃是兩兩互斥的事件，由此知④正確；
對照四個命題知①④正確；
故答案為：①④．

點評 本題考查相互獨立事件，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，考查相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，屬于中檔題．