Question

2．公元前三世紀，被譽為“幾何之父”著名數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中提出“余弦定理”，古往今來有許許多多的證明方法，請在△ABC中，請寫出余弦定理的其中一個公式，并且利用向量知識加以證明．

Answer 1

分析 先利用數(shù)學語言準確敘述出余弦定理的內(nèi)容，并畫出圖形，寫出已知與求證，然后采用向量法證明，由a的平方等于$\overrightarrow{BC}$的平方，利用向量的三角形法則，由$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{BC}$，然后利用平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡后，即可得到a²=b²+c²-2bccosA．

解答 解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍；
或在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有a²=b²+c²-2bccosA，
證明：如圖，
a²=$\overrightarrow{BC}$²=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{AC}$²-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$²
=$\overrightarrow{AC}$²-2|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cosA+$\overrightarrow{AB}$²
=b²-2bccosA+c²．
即a²=b²+c²-2bccosA．

點評 此題考查學生會利用向量法和坐標法證明余弦定理，以及對命題形式出現(xiàn)的證明題，要寫出已知求證再進行證明，是一道基礎題．