Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，n∈N^*，a_n＞0，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{S_n}中存在若干項，按從小到大的順序排列組成一個以S₁為首項，3為公比的等比數(shù)列{b_n}，
①求數(shù)列{b_n}的項數(shù)k與n的關(guān)系式k=k（n）；
②記，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，可得，從而可得數(shù)列{}是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，進而可求S_n，利用當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求得數(shù)列的通項；
（2）①先確定b_n=3^n-1，再設(shè)b_n是數(shù)列{S_n}中的第k項，即可求得結(jié)論；
②n≥2時，＜，由此可證結(jié)論．
解答：（1）解：∵
∴
∴
∵a₁=1，∴
∴數(shù)列{}是以為首項，2為公差的等差數(shù)列
∴=
∵a₁=1，a_n＞0，
∴S_n＞1
∴
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=
當(dāng)n=1時，a₁=1，
∴a_n=；
（2）①解：∵數(shù)列{S_n}中存在若干項，按從小到大的順序排列組成一個以S₁為首項，3為公比的等比數(shù)列{b_n}，
∴b_n=3^n-1
設(shè)b_n是數(shù)列{S_n}中的第k項，即，∴
∴；
②證明：n≥2時，＜，
∴
∵
∴．
點評：本題考查的知識點為等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查不等式的證明，同時考查了推理論證能力，屬于中檔題．