Question

9．對(duì)于定義域和值域都為[0，1]的函數(shù)f（x），設(shè)f₁（x）=f（x），${f_2}（x_0）=f（{f_1}（x）），…，{f_n}（x）=f（{f_{n-1}}（x））\;（n∈{N^*}）$，若x₀滿足f_n（x₀）=x₀，則x₀稱為f（x）的n階周期點(diǎn)．
（1）若f（x）=1-x（0≤x≤1），則f（x）的3價(jià)周期點(diǎn)的值為$\frac{1}{2}$；
（2）若$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x，x∈[{0，\frac{1}{2}}]}\\{2-2x，x∈（{\frac{1}{2}，1}]}\end{array}}\right.$，則f（x）的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4．

Answer 1

分析 （1）求出f₂（x）=x，f₃（x）=1-x，令1-x₀=x₀，能求出f（x）的3價(jià)周期點(diǎn)的值．
（2）當(dāng)$0≤2x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f₂（x）=4x．由f₂（x₀）=x₀，得x₀=0；當(dāng)$\frac{1}{2}＜2x≤1$時(shí)，f₂（x）=2-4x．由f₂（x₀）=2-4x₀=x₀，得${x_0}=\frac{2}{5}$．從而當(dāng)$0≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有兩個(gè)2階周期點(diǎn)．同理，當(dāng)$\frac{1}{2}＜x≤1$時(shí)，f（x）也有兩個(gè)2階周期點(diǎn)，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵f（x）=1-x（0≤x≤1），
∴f₂（x）=f（1-x）=1-（1-x）=x，
f₃（x）=f（x）=1-x，
令1-x₀=x₀，則${x_0}=\frac{1}{2}$．
（2）當(dāng)$0≤2x≤\frac{1}{2}$，即$0≤x≤\frac{1}{4}$時(shí)，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x．
由f₂（x₀）=x₀，得x₀=0；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜2x≤1$，即$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-2（2x）=2-4x．
由f₂（x₀）=2-4x₀=x₀，得${x_0}=\frac{2}{5}$．
所以當(dāng)$0≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有兩個(gè)2階周期點(diǎn)．
同理，當(dāng)$\frac{1}{2}＜x≤1$時(shí)，f（x）也有兩個(gè)2階周期點(diǎn)，
故f（x）共有4個(gè)2階周期點(diǎn)．
故答案為：$\frac{1}{2}$，4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期點(diǎn)的值的求法和函數(shù)的周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．