Question

設函數f（x）=sinx-cosx+x+1，求函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,兩角和與差的正弦函數

專題：導數的綜合應用

分析：由已知得f′(x)=1+

2

sin(x+

π

4

)，由此利用三角函數性質和導數性質能求出函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

解答： 解：由已知得f′(x)=1+

2

sin(x+

π

4

)，
由三角函數性質得f'（x）為x=-π+2kπ，T=2π的周期函數，
令f'（x）=0，1+

2

sin(x+

π

4

)=0，
解得x=-

π

2

+2kπ或x=-

π

2

+2kπ，k∈Z

x	(-π+2kπ，- π 2 +2kπ)	- π 2 +2kπ	(- π 2 +2kπ，π+2kπ)	π+2kπ
f'（x）	-	0	+	0
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值

由上表知，f（x）的單調遞減區(qū)間為(-π+2kπ，-

π

2

+2kπ)，單調遞增區(qū)間為(-

π

2

+2kπ，π+2kπ)，k∈Z．
極小值為f(-

π

2

+2kπ)=-

π

2

+2kπ，極大值為f（π+2kπ）=π+2kπ+2．

點評：本題考查函數的單調區(qū)間的求法，考查實數的極值的求法，解題時要認真審題，注意導數性質和分類討論思想的合理運用．