函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+
3
cosx)的單調(diào)遞增區(qū)間是
[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z
[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z
．
分析：展開(kāi)表達(dá)式，利用二倍角與兩角和的正弦函數(shù)，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．
解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2cosx(sinx+
3
cosx)=sin2x+2
3
cos2x=2sin（2x+
π
3
）-
3
．
因?yàn)?span id="n8gwfgx" class="MathJye">2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，所以x∈[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z．
故答案為：[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在下列命題中：①已知兩條不同直線m、n兩上不同平面α，β，m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②函數(shù)y=sin（2x-
π
6
）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)（
π
3
，0）；③若函數(shù)f（x）在R上滿足f（x+1）=
1
f(x)
，則f（x）是周期為2的函數(shù)；④在△ABC中，若
OA
+
OB
=2
CO
，則S△ABC=S△BOC其中正確命題的序號(hào)為
 
．

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