【答案】
分析:(I)欲求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導數求出在x=2處的導函數值,再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(II)利用導數來討論函數的單調性即可,具體的步驟是:(1)確定 f(x)的定義域;(2)求導數fˊ(x);(3)在函數 的定義域內解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)確定 的單調區(qū)間.若在函數式中含字母系數,往往要分類討論.
解答:解:(I)當a=-1時,f(x)=lnx+x+
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-1,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=
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+1-
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,因此,f′(2)=1,
即曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為1,
又f(2)=1n2+2,y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y-(ln2+2)=x-2,
所以曲線,即x-y+ln2=0;
(Ⅱ)因為
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,
所以
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=
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,x∈(0,+∞),
令g(x)=ax
2-x+1-a,x∈(0,+∞),
(1)當a=0時,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
所以,當x∈(0,1)時,g(x)>0,
此時f′(x)<0,函數f(x)單調遞減;
(2)當a≠0時,由g(x)=0,
即ax
2-x+1-a=0,解得x
1=1,x
2=
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-1.
①當a=
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時,x
1=x
2,g(x)≥0恒成立,
此時f′(x)≤0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減;
②當0<a<
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時,
x∈(0,1)時,g(x)>0,此時f′(x)<0,函數f(x)單調遞減,
x∈(1,
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-1)時,g(x)<0,此時f′(x)>0,函數f(x)單調遞增,
x∈(
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-1,+∞)時,g(x)>0,此時f′(x)<0,函數f(x)單調遞減;
③當a<0時,由于
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-1<0,
x∈(0,1)時,g(x)>0,此時f′(x)<0函數f(x)單調遞減;
x∈(1,∞)時,g(x)<0此時函數f′(x)>0函數f(x)單調遞增.
綜上所述:
當a≤0時,函數f(x)在(0,1)上單調遞減;
函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增
當a=
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時,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減
當0<a<
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時,函數f(x)在(0,1)上單調遞減;
函數f(x)在(1,
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-1)上單調遞增;
函數f(x)在(
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-1,+∞)上單調遞減.
點評:本小題主要考查導數的概念、利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義和利用導數研究函數性質的能力,考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想.