已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個焦點(diǎn)是F，M是橢圓上的任意一點(diǎn)，|MF|的最大值與最小值的積為4，橢圓上存在著以直線l：y＝x為對稱軸的對稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|＝，求橢圓的方程．

答案：
解析：

　　解：設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，依題意，

　　∵|MF|的最大值為a＋c，|MF|的最小值為a－c，則(a＋c)(a－c)＝4，即b2＝4．

　　設(shè)過M1、M2的直線方程為y＝－x＋m，直線M1M2與橢圓交于M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，線段M1M2的中點(diǎn)為M(x0，y0)，

　　由得(4＋a2)x2－2ax2mx＋a2m2－4a2＝0，

　　x0＝(x1＋x2)＝，y0＝－x0＋m＝．

　　∵M(jìn)1與M2關(guān)于直線y＝x對稱，

　　∴x0＝y(tǒng)0，即＝．

　　∵a2＞b2＝4，∴m＝0．

　　∴x1＋x2＝2x0＝0．而x1x2＝，

　　∴|M1M2|＝．

　　∴a2＝5，故所求橢圓的方程為＝1．


提示：

設(shè)出橢圓方程，用待定系數(shù)法求解，由條件知，b的值可求，只需求出a的值，因此可利用對稱關(guān)系寫出直線M1M2的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點(diǎn)間距離公式或弦長公式求解．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，左焦點(diǎn)為F1（-3，0），右準(zhǔn)線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；
（2）設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn)P（3，2），焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A，B．求△AOB的面積．

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