Question

（2012•房山區(qū)二模）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（I）求出 a₂，a₃，a₄；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）求證：S_nS_n+2＜

S

2 n+1

．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可求a₂，a₃，a₄；
（II）再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）求出前n項和，代入計算，可以證得結論．

解答：（I）解：∵a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴當n=2時，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2
當n=3時，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4
當n=4時，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8      …（3分）
（II）解：∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．         （1）
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．    （2）
（1）-（2）得a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1…（8分）
（III）證明：∵S_n=2a_n-1=2ⁿ-1，
∴S_nS_n+2=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1，

S

2 n+1

=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1
∵2ⁿ＞0
∴S_nS_n+2＜

S

2 n+1

．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．