分析 (1)利用已知條件推出xn+1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.然后求解通項(xiàng)公式.
(2)判斷數(shù)列{yn}單調(diào)遞減,推出當(dāng)n=1時(shí),yn取得最大值為$\frac{1}{3}$.不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}>{y_n}$恒成立,轉(zhuǎn)化為:$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}>{({y_n})_{max}}=\frac{1}{3}$,即t2-2mt>0,對任意m∈[-1,1]恒成立,列出不等式求解即可.
(3)推出$|{{P_n}{Q_n}}|=\frac{n}{3^n}$,表示四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積為${S_n}=\frac{1}{2}({|{{P_{n+1}}{Q_{n+1}}}|+|{{P_n}{Q_n}}|})|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|$利用裂項(xiàng)求和求解即可.
解答 (1)解:由xn=3xn-1+2(n≥2且n∈N*)得xn+1=3(xn-1+1)(n≥2且n∈N*)
∵x1+1=3,∴xn+1≠0,∴$\frac{{{x_n}+1}}{{{x_{n-1}}+1}}=3$,(n≥2且n∈N*)
∴{xn+1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.
∴${x_n}+1=({{x_1}+1}){3^{n-1}}={3^n}$.
∴${x_n}={3^n}-1$,n∈N*.
(2)∵${y_n}=f({x_n})=\frac{{{{log}_3}({{3^n}-1+1})}}{{{3^n}-1+1}}=\frac{n}{3^n}$,
∵$\frac{{{y_{n+1}}}}{y_n}=\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}•\frac{3^n}{n}=\frac{n+1}{3n}$,n∈N*,又3n=n+1+2n-1>n+1>1,
∴$\frac{{{y_{n+1}}}}{y_n}<1$故數(shù)列{yn}單調(diào)遞減,(此處也可作差yn+1-yn<0證明數(shù)列{yn}單調(diào)遞減)
∴當(dāng)n=1時(shí),yn取得最大值為$\frac{1}{3}$.
要使對任意的正整數(shù)n,當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}>{y_n}$恒成立,
則須使$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}>{({y_n})_{max}}=\frac{1}{3}$,即t2-2mt>0,對任意m∈[-1,1]恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t>0\\{t^2}+2t>0\end{array}\right.$,解得t>2或t<-2,
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).
(3)$|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|=({{3^{n+1}}-1})-({{3^n}-1})=2•{3^n}$,而$|{{P_n}{Q_n}}|=\frac{n}{3^n}$,
∴四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積為${S_n}=\frac{1}{2}({|{{P_{n+1}}{Q_{n+1}}}|+|{{P_n}{Q_n}}|})|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|$=$\frac{1}{2}({\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}+\frac{n}{3^n}})•2•{3^n}=\frac{4n+1}{3}$$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{3}{{n({4n+1})}}=\frac{12}{{4n({4n+1})}}=12({\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n+1}})<12({\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n+4}})=3({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}})$$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}<3({1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}})=3({1-\frac{1}{n+1}})<3$,
∴故$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}<3$.
點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列是單調(diào)性以及數(shù)列求和的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(x-2)一定為奇函數(shù) | B. | f(x-2)一定為偶函數(shù) | ||
C. | f(x+2)一定為奇函數(shù) | D. | f(x+2)一定為偶函數(shù) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | b<c<a | B. | a<c<b | C. | a<b<c | D. | c<a<b |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x2-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{16}$-y2=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1 | D. | x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-e]∪[e,+∞﹚ | B. | [-e,e] | ||
C. | ﹙-∞,-2-$\frac{1}{e}$]∪[-2+$\frac{1}{e}$,+∞﹚ | D. | [-2-$\frac{1}{e}$,-2+$\frac{1}{e}$] |
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