Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+c．
（1）若方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有兩個不等的實根，求實數(shù)c的取值范圍．
（2）是否存在實數(shù)c，使得當a+b≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域恰為[a，b]？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡得出x²-x+k=0，令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-k，運用圖象求解即可．
（2）假設(shè)存在實數(shù)k，當a+b≤2時，使函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域恰為[a，b]，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2x+c，f（x）=1-x，
∴x²-2x+c=1-x，
即x²-x+c-1=0，
令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-c，

f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
根據(jù)圖象可得出；-$\frac{1}{4}$＜1-c≤0時，即1≤c＜$\frac{5}{4}$，
方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有兩個不等的實根，
（Ⅱ）①若a＜b≤1，在[a，b]上單調(diào)遞減，
則 $\left\{\begin{array}{l}{b=c-2a{+a}^{2}①}\\{a=c-2b{+b}^{2}②}\end{array}\right.$，①減②得：a+b=1，即b=1-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=c-2a{+a}^{2}，（3）}\\{1-b=c-2b{+b}^{2}，（4）}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{c-1-a{+a}^{2}=0，（5）}\\{c-1-b{+b}^{2}=0，（6）}\end{array}\right.$，
∴方程k-1-x-x²=0在x≤1上有兩個不同的解，此時c∈[1，$\frac{5}{4}$）
②若a≤1≤b且1-a≥b-1，a+b≤2
在[a，b]上不單調(diào)時，
a=f（x）_min=f（1）=c-1，b=c-2a+a²，b≤2-a
b=c-2a+a²≤a+1-2a+a²≤2-a，
∴a∈[-1，0]，
∴c∈[0，1]
綜上得：c∈[0，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查方程根的存在問題，解題的關(guān)鍵是對于所給的函數(shù)式的分離參數(shù)，寫出要求的參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象解決．還考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力．