Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)得斜率，由點斜式寫出直線方程.

（Ⅱ）寫出函數(shù)，

求導(dǎo)數(shù)得到 ，由于的正負與的取值有關(guān)，故可令，通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，明確其正負.然后分以下情況討論 極值情況：(1)當時.(2)當時.

試題解析：（Ⅰ）由題意

又，

所以，

因此 曲線在點處的切線方程為

，

即 .

（Ⅱ）由題意得 ，

因為

，

令

則

所以在上單調(diào)遞增.

因為

所以 當時，

當時，

(1)當時，

當時， ， 單調(diào)遞減，

當時， ， 單調(diào)遞增，

所以 當時取得極小值，極小值是 ；

(2)當時，

由 得 ，

①當時， ，

當時， ， 單調(diào)遞增；

當時， ， 單調(diào)遞減；

當時， ， 單調(diào)遞增.

所以 當時取得極大值.

極大值為，

當時取到極小值，極小值是 ；

②當時， ，

所以 當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

③當時，

所以 當時， ， 單調(diào)遞增；

當時， ， 單調(diào)遞減；

當時， ， 單調(diào)遞增；

所以 當時取得極大值，極大值是；

當時取得極小值.

極小值是.

綜上所述：

當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)有極小值，極小值是；

當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，

極大值是

極小值是；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，

極大值是；

極小值是.