Question

8．下列命題中真命題的個數(shù)是（　�。�
 ①命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x${\;}_{0}^{3}$-x${\;}_{0}^{2}$+1＞0”；
 ②若命題p，q中有一個是假命題，則￢（p∧q）是真命題；
 ③在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分條件．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，寫出命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定，可判斷①正確；
②，若命題p，q中有一個是假命題⇒p∧q為假命題⇒￢（p∧q）是真命題，可判斷②正確；
③，在△ABC中，若cosA+sinA=cosB+sinB⇒$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）⇒A+$\frac{π}{4}$=B+$\frac{π}{4}$，或A+$\frac{π}{4}$=π-（B+$\frac{π}{4}$），即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，可判斷③正確．

解答 解：對于①，命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x${\;}_{0}^{3}$-x${\;}_{0}^{2}$+1＞0”，故①正確；
 對于②，若命題p，q中有一個是假命題，則，p∧q為假命題，￢（p∧q）是真命題，故②正確；
 對于③，在△ABC中，若cosA+sinA=cosB+sinB，即$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
所以，A+$\frac{π}{4}$=B+$\frac{π}{4}$，或A+$\frac{π}{4}$=π-（B+$\frac{π}{4}$），即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
所以在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分條件，故③正確．
綜上所述，以上命題中真命題的個數(shù)是3個，
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，突出考查命題及其否定、用邏輯連接詞聯(lián)系的復合命題的真假判斷及充分必要條件，屬于中檔題．