Question

2．求${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，其中n是77⁷⁷-10除以19的余數(shù)．

Answer 1

分析 77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=76m-9除以19的余數(shù)是10，可得n=10．再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=76m-9除以19的余數(shù)是10，所以n=10．
設(shè)T_r+1是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，
則${T_{r+1}}=C_{10}^r{（{\frac{5}{2x}}）^{10-r}}{（{-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^r}=C_{10}^r{（{\frac{5}{2}}）^{10-r}}{（{-\frac{2}{5}}）^r}{x^{\frac{5}{3}r-10}}$，
令$\frac{5}{3}r-10=0$得r=6，所以${T_7}=C_{10}^6{（{\frac{5}{2}}）^4}{（{-\frac{2}{5}}）^6}=\frac{168}{5}$．
所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為$\frac{168}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．