Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點(n，

Sn

n

)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=

2(an-1)

x

+x-3的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=ansin(nπ+

π

2

)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；

Answer 1

分析：（1）把點(n，

Sn

n

)代入函數(shù)f（x）中，得到

Sn

n

，進(jìn)而可得S_n，進(jìn)而根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，整理得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
判定數(shù)列{a_n-2n}公比為2的為等比數(shù)列，a₁=S₁，求得a₁，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得a_n-2n進(jìn)而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入bn=ansin(nπ+

π

2

)中，化簡整理得b_n=（-2）ⁿ+（-1）ⁿ•2n進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求得T_n．

解答：解：（1）由題設(shè)知

Sn

n

=

2(an-1)

n

+n-3，
即S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+n²-n-4．
相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），
當(dāng)n=1時，a₁=4．且a₁-2×1≠0；
∴a_n-2n=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2n+2ⁿ．
（2）由知bn=(2n+2n)sin(nπ+

π

2

)=(-1)n(2n+2n)=(-2)n+(-1)n•2n．
∴T_n=[-2+（-2）²+（-2）ⁿ]+2[-1+2-3+4-+（-1）ⁿ•n]．
當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn=

2n+1

3

+n-

2

3

；
當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn=

2n+1

3

-n-

5

3

．
故Tn=

2n+1 3 +n- 2 3 (n偶) 2n+1 3 -n- 5 3 (n奇)

點評：本題主要考查了數(shù)列求數(shù)列的通項公式和前n項和的求法．常把數(shù)列轉(zhuǎn)化成等比或等差數(shù)列來解決．