Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，E，M分別是AD，PD中點(diǎn)，PE⊥BE，PA=PD=AD=2，AB=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：PB∥平面MAC；
（Ⅱ）求證：PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求證：平面MAC⊥平面PBE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，交AC于O，連接OE，則OM∥PB，利用線面平行的判定定理證明：PB∥平面MAC；
（Ⅱ）證明PE⊥AD，利用PE⊥BE，BE∩AD=E，證明：PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）證明AC⊥平面PBE，即可證明：平面MAC⊥平面PBE．

解答 （Ⅰ）連接BD，交AC于O，連接OE，則OM∥PB，
∵PB?平面MAC，OM?平面MAC，
∴PB∥平面MAC；
（Ⅱ）∵PA=PD，E是AD的中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，
∵PE⊥BE，BE∩AD=E，
∴PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）∵PE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PE，
∵AD=2，AB=$\sqrt{2}$，四邊形ABCD是矩形，E是AD中點(diǎn)，
∴△ABE∽△DAC，
∴∠ABE=∠DAC，
∴AC⊥BE，
∵PE∩BE=E，
∴AC⊥平面PBE，
∵AC?平面MAC，
∴平面MAC⊥平面PBE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查面面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．