Question

已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）. （3）. 

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)， ．        　　　　　　　　　　　    

，

曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．   2分

從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．             3分

（2）．                 4分

令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立.                5分

由題意＞0，的圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，∴，

只需，即，

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是.       7分

（3）∵在上是減函數(shù)，

∴時(shí)，； 時(shí)，，即， 8分

①當(dāng)＜0時(shí)，，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，且，∴在內(nèi)是減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082614115100607099/SYS201308261419107933779936_DA.files/image033.png">，所以＜0，＜0，

此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)．

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意…10分

②當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，

所以．

又由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

∴＜，不合題意； 12分

③當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，，

又在上是減函數(shù)，

故只需＞，，

而，，即 ，

解得＞ ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.    ……15分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)試題一般分為三個(gè)層次：第一主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則和與實(shí)際背景有關(guān)的問題（如瞬時(shí)速度，邊際成本，加速度、切線的斜率）；第二主要考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、最值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的單調(diào)性等；第三將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式和解析幾何等有機(jī)地結(jié)合在一塊，設(shè)計(jì)綜合題。