Question

設[x]表示不超x的最大整數（如[2]=2，[

5

4

]=1），對于給定的n∈N^*，定義

C

x n

=

n(n-1)(n-2)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞)，則 （i）

C

3 2 8

=

16

3

；（ii）當x∈[2，3）時，函數

C

x 8

的值域是

(

28

3

，28]

．

Answer 1

分析：對于題目中新定義的：“

C

x n

=

n(n-1)(n-2)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞)，”理解是解決此題的問題，如求

C

3 2 8

，它是由一個分式的分子和分母兩部分構成，分子是8，分母是

3

2

的分數．按此理解將函數C^x₈的值域問題轉化成一個函數的值域求解．

解答：解：當x=

3

2

時，[

3

2

]=1，

C

3 2 8

=

8

3 2

=

16

3

；
當x∈[2，3）時，∵[x]=2，∴C^x_n=

n(n-1)

x(x-1)

，
∴C^x₈=

8×7

x(x-1)

=

56

x(x-1)

．
又∵當x∈[2，3）時，f（x）=x（x-1）∈[2，6），
∴當[2，3）時，

C

2 8

=

8×7

2×1

=28，
當x→3時，[x]=2，

C

x 8

=

8×7

3×2

=

28

3

，
∴C^x₈=

56

x(x-1)

∈（

28

3

，28）．
故答案為：

16

3

，(

28

3

，28]．

點評：本題是一道創(chuàng)新題，新的高考，每年均會出現(xiàn)一定新穎的題目，我們只要認真審題，細心研究，活用基礎知識，把握數學思想、數學方法，構建知識結構和認知結構，實現(xiàn)知識到能力的轉化．