Question

（2011•廣州模擬）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1+λa_n，是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）方法1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，通過b22=b1b3以及a_n+1=a_n+2a_n-1，解得λ=1或λ=-2，λ=1，λ=-2，分別說明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
方法2：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)

bn

bn-1

=q（n≥2），轉(zhuǎn)化為a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），就是a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1，與a_n+1=a_n+2a_n-1比較，
解得λ=1或λ=-2，存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）解法1：由（1）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，分別求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
解法2：由（1）知an+1-2an=(-1)n+1（n≥1），構(gòu)造

an+1

2n+1

-

an

2n

（n≥1），通過拆項(xiàng)法求出{

an

2n

}的通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解法3：由（1）可知，

an+1+an=4×2n-1 an+1-2an=1×(-1)n-1.

，求出an=

1

3

[2n+1+(-1)n]，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=

1

3

(22+23+24+25+…+2n+2n+1)；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=

1

3

[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]，分別求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答：（本小題滿分14分）
（1）方法1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
則有b22=b1b3．                                     ①…（1分）
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，…（2分）
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），
解得λ=1或λ=-2．…（3分）
當(dāng)λ=1時，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有

bn

bn-1

=

an+1+an

an+an-1

=

(an+2an-1)+an

an+an-1

=2（n≥2）．…（4分）
當(dāng)λ=-2時，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

(an+2an-1)-2an

an-2an-1

=-1（n≥2）．…（5分）
所以存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
當(dāng)λ=1時，數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是4、公比是2的等比數(shù)列；
當(dāng)λ=-2時，數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是1、公比是-1的等比數(shù)列．…（6分）
方法2：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
設(shè)

bn

bn-1

=q（n≥2），…（1分）
即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），…（2分）
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．…（3分）
與已知a_n+1=a_n+2a_n-1比較，令

q-λ=1 qλ=2.

…（4分）
解得λ=1或λ=-2．…（5分）
所以存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
當(dāng)λ=1時，數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是4、公比是2的等比數(shù)列；
當(dāng)λ=-2時，數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是1、公比是-1的等比數(shù)列．…（6分）
（2）解法1：由（1）知an+1+an=4×2n-1=2n+1（n≥1），…（7分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）…（8分）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ…（9分）
=

4(1-4 n 2 )

1-4

=

1

3

(2n+2-4)．…（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）…（11分）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ…（12分）
=1+

8(1-4 n-1 2 )

1-4

=

1

3

(2n+2-5)．…（13分）
故數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

1 3 (2n+2-4) ， n 為偶數(shù) 1 3 (2n+2-5) ， n為奇數(shù)

…（14分）
注：若將上述和式合并，即得Sn=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．
解法2：由（1）知an+1-2an=(-1)n+1（n≥1），…（7分）
所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

(-1)n+1

2n+1

=(-

1

2

)n+1（n≥1），…（8分）
當(dāng)n≥2時，

an

2n

=

a1

21

+(

a2

22

-

a1

21

)+(

a3

23

-

a2

22

)+…+(

an

2n

-

an-1

2n-1

)
=

1

2

+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+…+(-

1

2

)n
=

1

2

+

(- 1 2 )2[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

=

1

2

+

1

6

[1-(-

1

2

)n-1]．
因?yàn)?span id="pknqwxw" class="MathJye">

a1

21

=

1

2

也適合上式，…（10分）
所以

an

2n

=

1

2

+

1

6

[1-(-

1

2

)n-1]（n≥1）．
所以an=

1

3

[2n+1+(-1)n]．…（11分）
則Sn=

1

3

[(22+23+24+…+2n+1)+((-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)n)]，…（12分）
=

1

3

[

4(1-2n)

1-2

+

(-1)(1-(-1)n)

1-(-1)

]…（13分）
=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．…（14分）
解法3：由（1）可知，

an+1+an=4×2n-1 an+1-2an=1×(-1)n-1.

…（7分）
所以an=

1

3

[2n+1+(-1)n]．…（8分）
則Sn=

1

3

[(22-1)+(23+1)+(24-1)+(25+1)+…+(2n+(-1)n-1)+(2n+1+(-1)n)]，…（9分）
當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=

1

3

(22+23+24+25+…+2n+2n+1)…（10分）
=

1

3

×

4(1-2n)

1-2

=

1

3

(2n+2-4)．…（11分）
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=

1

3

[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]…（12分）
=

1

3

×[

4(1-2n)

1-2

-1]=

1

3

(2n+2-5)．…（13分）
故數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

1 3 (2n+2-4) ， n 為偶數(shù) 1 3 (2n+2-5) ， n為奇數(shù)

…（14分）
注：若將上述和式合并，即得Sn=

1

3

[(2n+2-4)+

(-1)n-1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法，拆項(xiàng)法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，計(jì)算能力，難度比較大．