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【題目】已知函數 .

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若且，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求導得到導函數后，通過和兩種情況，確定的正負，從而得到函數的單調性；（2）將問題轉化為證明：；設，，只需證；通過求導運算，可知，再通過零點存在定理，不斷確定的最值位置，從而證得，證得結論.

（1）函數的定義域為

①若時，則，在上單調遞減；

②若時，當時，

當時，；當時，

故在上，單調遞減；在上，單調遞増

（2）若且，欲證

只需證

即證

設函數，，則

當時，；故函數在上單調遞增

所以

設函數，則

設函數，則

當時，

故存在，使得

從而函數在上單調遞增；在上單調遞減

當時，

當時，

故存在，使得

即當時，，當時，

從而函數在上單調遞增；在上單調遞減

因為

故當時，

所以

即

練習冊系列答案
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