Question

求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：
（1）經(jīng)過兩點(diǎn)（2

7

，3），（-7，-6

2

）；
（2）雙曲線過點(diǎn)（3，9

2

），離心率e=

10

3

．

Answer 1

分析：（1）由于不清楚雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)其方程為

x2

m

-

y2

n

=1（mn＜0），然后把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入該方程形成方程組，最后解方程組即可．
（2）分別設(shè)出焦點(diǎn)在x軸、y軸上的雙曲線的方程，然后根據(jù)其過定點(diǎn)（3，9

2

）、離心率e=

c

a

=

10

3

、且有c²=a²+b²，則列方程組，分別解之即可．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

m

-

y2

n

=1，
則

28 m - 9 n =1 49 m - 72 n =1

，解得m=25，n=75，
∴該雙曲線的方程為

x2

25

-

y2

75

=1．
（2）若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則

c a = 10 3 9 a2 - 162 b2 =1 c2=a2 +b2

，解得b²=-161（舍去）；
若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
則

c a = 10 3 162 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a²=81，b²=9，
所以雙曲線的方程為

y2

81

-

x2

9

=1．
故雙曲線的方程為

y2

81

-

x2

9

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，同時(shí)考查解方程組的運(yùn)算能力．