如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。
(1)求證:PB//平面EFG;
(2)求異面直線:EG與BD所成的角;
(3)在線段CD上是否存在一點Q,使得A到平面EFQ的距離為,若存在,求出CQ的值;若不存在,請說明理由。
解法一:(1)證明:取AB中點H,連結GH,GE,
∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點,
∴GH//AD//EF
∴E,F(xiàn),H,H四點共面,
又H為AB的中點
∴EH//PB。
又EH面EFG,PB
平面EFG,
∴PB//面EFG。
(2)解:取BC的中點為M,連結GM、AM、EM,則EM//BD,
∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角
在Rt△MAE中,EM
同理EG=
∴在Rt△MAE中,
故異面直線EG與BD所成的角為
(3)
假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件,
過點Q作QR⊥AB于R,連結RE,則OQ//AD
∵ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA,又ABOA=A,
∴AD⊥平面PAB
又∵E、F分別是PA、PD中點,
∴EF//AD,
∴EF⊥平面PAB又EF面EFQ,
∴面EFQ⊥平面PAB,
過A作AT⊥ER于T,則AT⊥面EFQ,
∴AT就是點A到平面EFQ的距離
設CQ
在Rt△EAR中,AT
解得
故存在點Q,當
解法二:建立如圖所示的空間直角坐標系A―xyz
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)
P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0)
(1)證明:∵
即
又∵
∴共面。
∵PB平面EFG,
∴PB//平面EFG,
(2)解∵
∴
故異面直線EG與BD所成的角為
(3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件
令
則DQ=2-m
∴點Q的坐標為(2,-m,2,0)
∴
而,設平面EFQ的法向量為
,則
∴
令x=1,則
∴點A到平面EFQ的距離
即
∴不合題意,舍去
故存在點Q,當CQ=時,點A到平面EFQ的距離為
。
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圖22
(1)求證:EN∥平面PCD;
(2)求證:平面PBC⊥平面ADMN;
(3)求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.
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