如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。

(1)求證:PB//平面EFG;

(2)求異面直線:EG與BD所成的角;

(3)在線段CD上是否存在一點Q,使得A到平面EFQ的距離為,若存在,求出CQ的值;若不存在,請說明理由。

解法一:(1)證明:取AB中點H,連結GH,GE,

∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點,

∴GH//AD//EF

∴E,F(xiàn),H,H四點共面,

又H為AB的中點

∴EH//PB。

又EH面EFG,PB平面EFG,

∴PB//面EFG。

(2)解:取BC的中點為M,連結GM、AM、EM,則EM//BD,

∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角

在Rt△MAE中,EM

同理EG=

∴在Rt△MAE中,

故異面直線EG與BD所成的角為

(3)

假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件,

過點Q作QR⊥AB于R,連結RE,則OQ//AD

∵ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,

∴AD⊥AB,AD⊥PA,又ABOA=A,

∴AD⊥平面PAB

又∵E、F分別是PA、PD中點,

∴EF//AD,

∴EF⊥平面PAB又EF面EFQ,

∴面EFQ⊥平面PAB,

過A作AT⊥ER于T,則AT⊥面EFQ,

∴AT就是點A到平面EFQ的距離

設CQ

在Rt△EAR中,AT

解得

故存在點Q,當

解法二:建立如圖所示的空間直角坐標系A―xyz

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)

P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0)

(1)證明:∵

又∵

共面。

∵PB平面EFG,

∴PB//平面EFG,

(2)解∵

故異面直線EG與BD所成的角為

(3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件

則DQ=2-m

∴點Q的坐標為(2,-m,2,0)

,設平面EFQ的法向量為,則

令x=1,則

∴點A到平面EFQ的距離

不合題意,舍去

故存在點Q,當CQ=時,點A到平面EFQ的距離為。

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

18、如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點,過A、N、D三點的平面交PC于M.
(1)求證:DP∥平面ANC;
(2)求證:M是PC中點;
(3)求證:平面PBC⊥平面ADMN.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點,過A、N、D三點的平面交PC于M.
(Ⅰ)求證:AD∥MN;
(Ⅱ)求證:平面PBC⊥平面ADMN.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為4的菱形,且∠BAD=60°,N是PB的中點,過A,D,N的平面交PC于M,E是AD的中點.
(1)求證:BC⊥平面PEB;
(2)求證:M為PC的中點;
(3)求四棱錐M-DEBC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為4的菱形,且∠BAD=60°,N是PB的中點,過A,D,N的平面交PC于M,E是AD的中點.
(1)求證:BC⊥平面PEB;
(2)求證:M為PC的中點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖22,在四棱錐P—ABCD中,側面PAD是正三角形,且與底面ABCD垂直,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中點,過A、D、N三點的平面交PC于M,E為AD的中點.

圖22

(1)求證:EN∥平面PCD;

(2)求證:平面PBC⊥平面ADMN;

(3)求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案