Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上運(yùn)動(dòng)，且PA=r（），記點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為f（r），則=________．（填上所有可能的值）．

Answer 1

分析：由題意畫(huà)出圖形并得出相應(yīng)的解析式，畫(huà)出其圖象，經(jīng)過(guò)討論即可得出答案．
解答：如圖所示：①當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f（r）=3×=；∴．此時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得：＜5．
②當(dāng)1＜r≤時(shí)，在平面ABCD內(nèi)，設(shè)以點(diǎn)A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點(diǎn)E、F，則，，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2××=，cos∠EAG==，
∴f（r）=3r+3r；
③當(dāng)時(shí)，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，
∴f（r）=3r．
綜上可知：當(dāng)0＜r≤1時(shí)，；當(dāng)1＜r≤時(shí)，f（r）=3r+3r；當(dāng)時(shí)，∴f（r）=3r．
根據(jù)以上解析式及圖性和對(duì)稱(chēng)性可得f（r）的圖象：
由圖象不難看出：函數(shù)y=f（r）與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為，0，2，3，4．
故答案為．關(guān)于r的方程f（r）=k的解的個(gè)數(shù)可能為0，2，3，4．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．