Question

正數(shù)a，b滿足2a+b=1，且2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，

  2

  2

  ]
• B．[

  2

  2

  ，+∞）
• C．[-

  2

  2

  ，

  2

  2

  ]
• D．[

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由a＞0，b＞0，2a+b=1得，4a²+b²=1-4ab，于是問題轉(zhuǎn)化為：t≥2

ab

+4ab-

1

2

恒成立，令f（a，b）=2

ab

+4ab-

1

2

，求得f（a，b）的最大值，只需t≥f（a，b）_max即可．

解答：解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，轉(zhuǎn)化為t≥2

ab

+4ab-

1

2

恒成立，
令f（a，b）=2

ab

+4ab-

1

2

=4（ab+

1

2

ab

-

1

2

）=4(

ab

+

1

4

) 2-

1

4

，
又由a＞0，b＞0，2a+b=1得：1=2a+b≥2

2ab

，
∴ab≤

1

8

（當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

4

，b=

1

2

時(shí)取“=”）；
∴f（a，b）_max=4(

1 8

+

1

4

)2-

1

4

=

2

2

．
t≥

2

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的綜合，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)f（a，b）=2

ab

+4ab-

1

2

，通過配方與應(yīng)用基本不等式解決，著重考查轉(zhuǎn)化思想與綜合分析與應(yīng)用的能力，屬于難題．