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7.已知函數(shù)f(x)=(ex+1)(ax+2a-2),若存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)-2<0成立,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.(0,1)B.(0,32C.(-∞,1)D.(-∞,43

分析 由題意分離出a可得存在x∈(0,+∞),使得不等式a<2x+2+2x+22+ex成立,由函數(shù)的單調(diào)性求出右邊式子的最大值可得.

解答 解:由題意可得存在x∈(0,+∞),使得不等式(ex+1)(ax+2a-2)-2<0成立,
故可得存在x∈(0,+∞),使得不等式(ex+1)(ax+2a-2)<2成立,
即存在x∈(0,+∞),使得不等式a(x+2)<2+22+ex成立,
即存在x∈(0,+∞),使得不等式a<2x+2+2x+22+ex成立,
又可得函數(shù)g(x)=2x+2+2x+22+ex在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減,
∴g(x)<g(0)=43,∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,43
故選:D.

點評 本題以特稱命題為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性和值域,屬中檔題.

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