Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數列{

1

an

+（-1）ⁿ}是否為等比數列，并說明理由；
（2）設b_n=

1

an2

，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）設c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：對任意的n∈N^*，T_n＜2．

Answer 1

分析：（（1）根據題意，對a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2）進行變形可得

1

an

+(-1)n=2[(-1)n-

1

an-1

]=-2[(-1)n-1+

1

an-1

]從而證得結論；
（2）根據（1）求出數列a_n，從而求得b_n，利用分組求和法即可求得結果；
（3）首先確定出數列{c_n}的通項公式，利用放縮的思想將數列的每一項進行放縮，轉化為特殊數列的求和問題達到證明不等式的目的．

解答：解：（1）由a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

得：

1

an

=

(-1)nan-1-2

an-1

=(-1)n-

2

an-1

∴

1

an

+(-1)n=2[(-1)n-

1

an-1

]=-2[(-1)n-1+

1

an-1

]
又∵a₁=

1

2

，∴

1

a1

+(-1)1=2-1=1
∴數列列{

1

an

+（-1）ⁿ}是首項為1，公比為-2的等比數列．
（2）由（1）的結論有

1

an

+(-1)n=(-2)n-1，
即an=

(-1)n-1

1+2n-1

．
∴b_n=

1

an2

=（1+2^n-1）²=1+2ⁿ+4^n-1
∴S_n=（1+2+4⁰）+（1+2²+4¹）+…+（1+2ⁿ+4^n-1）
=（1+1+…+1）+（2+2²+…+2ⁿ）+（4⁰+4¹+…+4^n-1）
=n+

2(1-2n)

1-2

+

1-4n

1-4

=2n+

4n

3

+n-

7

3

（3）∵sin

(2n-1)π

2

=sin(nπ-

1

2

π)=

-1，n為偶數 1，n為奇數

=（-1）^n-1
由c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

=

(-1)n-1

1+2n-1

•sin(nπ-

1

2

π)=

1

1+2n-1

∴T_n=

1

1+20

+

1

1+2

+…+

1

1+2n-1

＜ 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-2•(

1

2

)n＜2
∴對任意的n∈N^*，T_n＜2

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列，求解數列的通項公式，分組求和及等比數列求和公式的應用．