【題目】我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中。如圖1，點是相應橢圓的焦點，和分別是“果圓”與軸的交點，且是邊長為2的等邊三角形。

（1）求“果圓”的方程。

（2）連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦，試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由。

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）因為，

所以

于是，所求“果圓”方程為

（2）記平行弦的斜率為.

當時，直線與半橢圓的交點是，與半橢圓的交點是.

所以，的中點滿足得.

所以當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上.

當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是， 所以線段中點的坐標為.

由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上

當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上.

綜上，當且僅當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其最小正周期為 ．

（1）求 的表達式；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù) 的圖象，若關于 的方程 在區(qū)間 上有解，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給定函數(shù)①;②;③；④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是( )

A.①②B.②③C.③④D.①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，的內(nèi)切圓于邊、、分別切于點、、，、、、的中點分別為、、、，與交于點。證明：的外接圓與的內(nèi)切圓相切。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；

（3）若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學成績在[50，90）之外的人數(shù)．

分數(shù)段

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

1：1

2：1

3：4

4：5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進行質(zhì)量檢驗．某次檢驗中，從產(chǎn)品中隨機抽取100件作為樣本，測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項指標值，根據(jù)測量結果得到如下頻率分布直方圖：

(1)求頻率分布直方圖中的值；

(2)技術分析人員認為，本次測量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計算，并計算測量數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)內(nèi)的概率；

(3)設生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標值為，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標值之間滿足函數(shù)關系假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計算生產(chǎn)該疫苗的平均成本．

參考數(shù)據(jù)：,．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[2019·開封一模]已知數(shù)列中，，，利用下面程序框圖計算該數(shù)列的項時，若輸出的是2，則判斷框內(nèi)的條件不可能是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查某大學學生在某天上網(wǎng)的時間，隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調(diào)查. 得到如下的統(tǒng)計結果.

表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表：

上網(wǎng)時間（分鐘）

人數(shù)

10

20

40

20

10

表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表：

上網(wǎng)時間（分鐘）

人數(shù)

5

25

30

25

15

完成下面的2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為“大學生上網(wǎng)時間與性別有關”？

附：，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．

（1）若f（x+θ）是最小周期為2π的偶函數(shù)，求ω和θ的值；

（2）若f（x）在（0，]上是增函數(shù)，求ω的最大值．

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