Question

5．在△ABC中，若$\frac{a}$=$\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，則tanA=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由$\frac{a}$=$\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，化為a²-b²=$\sqrt{3}$bc，c=2$\sqrt{3}$b，再利用余弦定理可得A．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{a}$=$\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，
∴a²-b²=$\sqrt{3}$bc，c=2$\sqrt{3}$b，
∴a²=b²+$\sqrt{3}b×2\sqrt{3}b$=7b²．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+12^{2}-7^{2}}{2b×2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$
則tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．