分析 當(dāng)0<x<$\frac{π}{2}$時,令g(x)=tanx-x-(x-sinx),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得g′(x)>0,可得g(x)在(0,$\frac{π}{2}$)上單調(diào)遞增,進(jìn)而得證x-sinx<tanx-x.
解答 證明:當(dāng)0<x<$\frac{π}{2}$時,
令g(x)=tanx-x-(x-sinx),
則g′(x)=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1-(1-cosx)=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+cosx-2>0,
故g(x)在(0,$\frac{π}{2}$)上單調(diào)遞增,
故g(x)>g(0)=0,
∴tanx-x-(x-sinx)>0,
∴x-sinx<tanx-x.
點評 本題主要考查三角函數(shù)線的定義,利用導(dǎo)數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.
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