Question

已知函數(shù)f（x）=2x+alnx（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為h（a），m，n為h（a）定義域A中的任意兩個(gè)值，求證：．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得
令f′（x）=0得
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）=2x+alnx在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，若，則f′（x）＜0；若，則f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）=2x+alnx在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．…（4分）
（2）解：由（1）知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，∴a＜0
又由（1）知，若a＜0，則函數(shù)f（x）在處取得極小值
∴函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
∴，解得a＜-2e
∴a的取值范圍是（-∞，-2e）（8分）
（3）證明：由（1）（2）知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）無最小值；
當(dāng)a＜0時(shí)，
對于?m，n∈（-∞，0）且m≠n，有=（10分）
不妨設(shè)m＜n＜0，則，令，則
設(shè)
則，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”
所以函數(shù)u（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故t＞1時(shí)，u（t）＞u（1）=0
又n＜0，∴，即
所以（14分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）=0得，再分類討論：當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0；當(dāng)a＜0時(shí)，若，則f′（x）＜0；若，則f′（x）＞0，由此可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先判斷a＜0，函數(shù)f（x）在處取得極小值，再根據(jù)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，建立不等式，即可求得a的取值范圍；
（3）由（1）（2）知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）無最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，，利用作差法，再構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)，綜合性強(qiáng)，難度大．