Question

2．已知函數(shù)f（x）=（2a+1）x-aln（x-1）-b．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=f（x+1），當a=1時，g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉化為h（x）=3（x+1）-lnx和y=b在區(qū)間（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一個交點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷計算即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（1，∞），
f′（x）=$\frac{（2a+1）x-（3a+1）}{x-1}$，（x＞1），
①a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3a+1}{2a+1}$，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{3a+1}{2a+1}$，
∴f（x）在（1，$\frac{3a+1}{2a+1}$）遞減，在（$\frac{3a+1}{2a+1}$，+∞）遞增，
②-$\frac{1}{2}$≤a≤0時，$\frac{3a+1}{2a+1}$≤1，
∴f（x）在（1，+∞）遞增，
③a＜-$\frac{1}{2}$時，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜$\frac{3a+1}{2a+1}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{3a+1}{2a+1}$，
∴f（x）在（1，$\frac{3a+1}{2a+1}$）遞增，在（$\frac{3a+1}{2a+1}$，+∞）遞減；
（2）a=1時，g（x）=f（x+1）=3（x+1）-lnx-b，（x＞0），
g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一個零點，
即h（x）=3（x+1）-lnx和y=b在區(qū)間（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一個交點，
h′（x）=$\frac{3x-1}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴h（x）在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{3}$）遞減，在（$\frac{1}{3}$，e）遞增，
而h（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=5+$\frac{3}{{e}^{2}}$＞h（e）=2+3e，
∴2+3e＜b＜5+$\frac{3}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．