Question

設函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在區(qū)間[-2，6]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）當k＞2時，求證：在區(qū)間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．

Answer 1

【答案】分析：（1）先畫出f（x）=x²-4x-5的圖象，對于y＜0的函數(shù)圖象畫關于x軸對稱的圖象．
（2）作函數(shù)g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5），要使y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方，只需證明g（x）的最小值大于0即可．
解答：解（1）如圖，
（2）[解法一]當x∈[-1，5]時，f（x）=-x²+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=，
∵k＞2，∴．又-1≤x≤5，
①當，即2＜k≤6時，取，g（x）_min=．
∵16≤（k-10）²＜64，∴（k-10）²-64＜0，
則g（x）_min＞0．
②當，即k＞6時，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由 ①、②可知，當k＞2時，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在區(qū)間[-1，5]上，y=k（x+3）的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．
[解法二]當x∈[-1，5]時，f（x）=-x²+4x+5．
由得x²+（k-4）x+（3k-5）=0，
令△=（k-4）²-4（3k-5）=0，解得 k=2或k=18，
在區(qū)間[-1，5]上，當k=2時，y=2（x+3）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象只交于一點（1，8）； 
當k=18時，y=18（x+3）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象沒有交點．
如圖可知，由于直線y=k（x+3）過點（-3，0），當k＞2時，直線y=k（x+3）是由直線y=2（x+3）繞點（-3，0）逆時針方向旋轉得到．因此，在區(qū)間[-1，5]上，y=k（x+3）的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．
點評：本題考查了函數(shù)圖象的畫法以及二次函數(shù)在定區(qū)間上的最大最小值問題，是中檔題．