Question

已知?jiǎng)訄AC與定圓x²+y²=1內(nèi)切，與直線x=3相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（2）若Q是上述軌跡上一點(diǎn)，求Q到點(diǎn)P（m，0）距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），由動(dòng)圓C與定圓x²+y²=1內(nèi)切，與直線x=3相切．可得3-x=

x2+y2

+1，
化簡(jiǎn)即可得出，或利用拋物線的定義直接得出．
（2）設(shè)Q（x，y），則y²=-4（x-1）．（x≤1）．可得|PQ|²=[x-（m+2）]²-4m．對(duì)m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)圓C的圓心C（x，y），由動(dòng)圓C與定圓x²+y²=1內(nèi)切，與直線x=3相切．
∴3-x=

x2+y2

+1，
化為y²=-4（x-1）．（x≤1）．
（2）設(shè)Q（x，y），則y²=-4（x-1）．（x≤1）．
∴|PQ|²=（x-m）²+y²=（x-m）²-4（x-1）
=[x-（m+2）]²-4m．
當(dāng)m≥-1時(shí)，x=1時(shí)上式取得最小值（m-1）²，即|PQ|取得最小值|m-1|．
當(dāng)m＜-1時(shí)，x=m+2時(shí)上式取得最小值-4m，即|PQ|取得最小值2

-m

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)、直線與圓相切、兩點(diǎn)之間的距離公式、拋物線的定義及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．