Question

2．對于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|，給出下列四個命題：
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②該函數(shù)的值域為[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
③該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，[2kπ+$\frac{5π}{4}$，2kπ+2π]；
④該函數(shù)關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z對稱，
其中正確命題的序號為（　�。�

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 由題意先化簡解析式，在同一坐標(biāo)系中畫出y=sinx和y=cosx的圖象，由圖象和正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷四個命題的真假．

解答 解：由題意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ]}\\{cosx，x∈（-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ）}\end{array}\right.$
（k∈Z），
在同一坐標(biāo)系中畫出y=sinx和y=cosx的圖象：
①、f（x+π）=$\left\{\begin{array}{l}{-sinx，sinx≥cosx}\\{-cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$≠f（x），由圖象知函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，①不正確；
②、由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ]}\\{cosx，x∈（-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ）}\end{array}\right.$得（k∈Z），
f（x）的值域是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，②不正確；
③、由正弦和余弦函數(shù)的單調(diào)性知，
f（x）的遞增區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，[2kπ+$\frac{5π}{4}$，2kπ+2π]（k∈Z），③正確；
④、由正弦和余弦函數(shù)的圖象可得，f（x）關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z對稱，④正確，
綜上可得，③④，
故選：C．

點評 本題考查正弦、余弦函數(shù)的圖象以及性質(zhì)，由圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)判斷命題的真假．