Question

已知函數f（x）=sinx-

3

cosx+2，記函數f（x）的最小正周期為β，

a

=（2，cosα），

b

=（1，tan（α+

β

2

））（0＜α＜

π

4

），且

a

•

b

=

7

3

．
（1）求f（x）在區(qū)間[

2π

3

，

4π

3

]上的最值；
（2）求

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,三角函數的化簡求值,三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）根據輔助角公式化簡，可得f（x）=2sin（x-

π

3

）+2，再由x∈[

2π

3

，

4π

3

]，利用正弦函數的圖象與性質加以計算，可得f（x）的最小值與最大值；
（2）根據三角函數周期公式得β=2π，利用向量的數量積公式與正弦的誘導公式算出sinα=

1

3

，從而得出cosα=

2 2

3

．再利用三角函數的誘導公式化簡，可得原式=2cosα=

4 2

3

．

解答： 解：（1）函數f（x）=sinx-

3

cosx+2
=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+2=2sin（x-

π

3

）+2，
由x∈[

2π

3

，

4π

3

]，則x-

π

3

∈[

π

3

，π]，
sin（x-

π

3

）∈[0，1]，
當x=

4π

3

時，f（x）取得最小值2，
當x=

5π

6

時，f（x）取得最大值4；
（2）∵f（x）=2sin（x-

π

3

）+2，f（x）的周期T=2π，∴β=2π，
由此可得

a

•

b

=

7

3

，則2+cosα•tan（α+π）=

7

3

，
2+cosα•tanα=

7

3

即有cosα•

sinα

cosα

=

1

3

，
可得sinα=

1

3

．
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2(α+2π)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2α

cosα-sinα

=

2cosα(cosα-sinα)

cosα-sinα

=2cosα，
∵0＜α＜

π

4

，可得cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=2cosα=

4 2

3

．

點評：本題將一個三角函數式化簡，求函數在閉區(qū)間上的最值，并且在已知向量數量積的情況下，求三角函數分式的值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質、同角三角函數的基本關系與誘導公式等知識，屬于中檔題．