8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:x2=4y,點(diǎn)P是C的準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則△AOB面積的最小值為( 。
A.$\sqrt{2}$B.2C.2$\sqrt{2}$D.4

分析 求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線PA和PB的方程,求得直線AB的方程,且直線AB過定點(diǎn)F(0,1),根據(jù)三角形的面積公式,即可求得△AOB面積的最小值.

解答 解:如圖所示:拋物線C:x2=4y,準(zhǔn)線l的方程y=-1,設(shè)P(x0,-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=$\frac{1}{4}$x2,求導(dǎo)y′=$\frac{1}{2}$x,
切線PA的方程為y-x1=$\frac{1}{2}$x1(x-x1),即y=$\frac{1}{2}$x1x-y1,
又切線PA過點(diǎn)P(x0,-1),-1=$\frac{1}{2}$x1x0-y1,
整理得:x1x0-2y1+2=0,
同理切線PB的方程x2x0-2y2+2=0,
∴直線AB的方程為xx0-2y+2=0,
直線AB過定點(diǎn)F(0,1),
∴△AOB面積,S=$\frac{1}{2}$丨OF丨丨x1-x2丨=$\frac{1}{2}$丨x1-x2丨≥$\frac{1}{2}$×4=2,
∴當(dāng)且僅當(dāng)直線AB⊥y軸時(shí)取等號(hào),
∴△AOB面積的最小值2,
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的切線方程的求法,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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