Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x²=4y，點P是C的準(zhǔn)線l上的動點，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則△AOB面積的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線PA和PB的方程，求得直線AB的方程，且直線AB過定點F（0，1），根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△AOB面積的最小值．

解答 解：如圖所示：拋物線C：x²=4y，準(zhǔn)線l的方程y=-1，設(shè)P（x₀，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{4}$x²，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{2}$x，
切線PA的方程為y-x₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），即y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
又切線PA過點P（x₀，-1），-1=$\frac{1}{2}$x₁x₀-y₁，
整理得：x₁x₀-2y₁+2=0，
同理切線PB的方程x₂x₀-2y₂+2=0，
∴直線AB的方程為xx₀-2y+2=0，
直線AB過定點F（0，1），
∴△AOB面積，S=$\frac{1}{2}$丨OF丨丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$丨x₁-x₂丨≥$\frac{1}{2}$×4=2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)直線AB⊥y軸時取等號，
∴△AOB面積的最小值2，
故選B．

點評 本題考查拋物線的切線方程的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．