Question

（滿分12分）如右圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：B₁C//平面A₁BD；
（Ⅰ）求二面角A—A₁B—D的余弦值。

Answer 1

(1)連交于點(diǎn)，連.
由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得到，推出∥平面.
(2) .

試題分析：(1)證明：連交于點(diǎn)，連.
則是的中點(diǎn)，
∵是的中點(diǎn)，∴
∵平面，平面，∴∥平面.
(2)法一：設(shè),∵,∴,且，
作，連
∵平面⊥平面，∴平面，
∴∴就是二面角的平面角，
在中，，
在中，
，即二面角的余弦值是.…………12分
解法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.
∴，，， 
設(shè)平面的法向量是，則
由，取
設(shè)平面的法向量是，則
由，取
記二面角的大小是，則，
即二面角的余弦值是.
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，應(yīng)用空間向量，使問(wèn)題解答得以簡(jiǎn)化。本解答提供了兩種解法，相互對(duì)比，各有優(yōu)點(diǎn)。