Question

1．設(shè)a，b∈R，且對一切x≤0，不等式（ax+2）（x²+2b）≤0恒成立，則a²-b的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)f（x）=ax+2，g（x）=x²+2b，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷求解即可．

解答 解：∵（ax+2）（x²+2b）≤0對任意x∈（-∞，0]恒成立，
∴當(dāng)x=0時，不等式等價為4b≤0，即b≤0，
設(shè)f（x）=ax+2恒過（0，2），g（x）=x²+2b，開口向上，
畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖：
g（x）=x²+2b=0，可得x=-$\sqrt{-2b}$．x=$\sqrt{-2b}$（舍去）．
函數(shù)f（x）=ax+2的零點為x=-$\frac{2}{a}$，
則函數(shù)f（x）在（-$\frac{2}{a}$，0）上f（x）＞0，g（x）＜0；
若a=0，則f（x）=2＞0，而此不滿足條件；
∵函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）上f（x）＞0，g（x）＜0，
可得：-$\frac{2}{a}$=-$\sqrt{-2b}$．
可得a²b=-2．
∴a²-b=a²+（-b）≥2$\sqrt{{a}^{2}（-b）}$=2$\sqrt{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)a²=-b=$\sqrt{2}$時取等號．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，解題時應(yīng)根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到兩個函數(shù)的零點相同，是較難的題目．