Question

已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)，點(diǎn)P滿足，記點(diǎn)P的軌跡為E．

(1)求軌跡E的方程；

(2)若直線l過點(diǎn)F₂且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)．

(ⅰ)無論直線l繞點(diǎn)F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)M(m，0)，使MP⊥MQ恒成立，求實(shí)數(shù)m的值．

(ⅱ)過P、Q作直線的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記，求的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由知，點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由c＝2，2a＝2，∴b2＝3，故軌跡E的方程為．……3分 　　(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0， 　　∴，解得k2＞3……5分 　　(ⅰ)∵ 　�。�(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2) 　�。�(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2 　　＝．……7分 　　∵M(jìn)P⊥MQ，∴， 　　故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對(duì)任意的k2＞3恒成立， 　　∴，解得m＝－1． 　　當(dāng)m＝－1時(shí)，MP⊥MQ．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由P(2，3)，Q(2，－3)及M(－1，0)知結(jié)論也成立，綜上，當(dāng)m＝－1時(shí)，MP⊥MQ．……8分 　　(ⅱ)∵a＝1，c＝2，∴是雙曲線的右準(zhǔn)線……9分 　　由雙曲線定義得：，， 　　方法一：∴ 　　．……10分 　　∵k2＞3，∴，故，……11分 　　注意到直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，， 　　綜上，．……12分 　　方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)， 　　∴，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則， 　　∴．……10分 　　由得，，故．……12分