Question

18、如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C∥平面BDE；
（2）求證：平面C₁BD⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接EO，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，結(jié)合E是AA₁中點(diǎn)和三角形中位線定理和線面平行的判定定理，我們易得A₁C∥平面BDE；
（2）根據(jù)正方體的幾何特征，我們易判斷BD⊥A₁C及BC₁⊥A₁C，結(jié)合線面垂直的判定定理，我們可得EO⊥平面BDC₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答：證明：（1）連接AC交BD于O，連接EO．（2分）
在△AA₁C中，E、O均為中點(diǎn)．
∴EO∥A₁C，又EO?平面BDE．（4分）
∴A₁C∥平面BDE．（6分）
（2）依題意：BD⊥AC，BD⊥AA₁
∴BD⊥平面AA₁C
∴BD⊥A₁C（8分）
同理BC₁⊥A₁C
∴A₁C⊥平面BDC₁，又EO∥A₁C
∴EO⊥平面BDC₁．（12分）
又EO?平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定及平面與平面垂直的判定，其中熟練掌握線面平行、面面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．