Question

17．已知F是拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中垂線僅交x軸于點(diǎn)M，則使|MF|=λ|PQ|恒成立的實(shí)數(shù)λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由根據(jù)拋物線的定義得：|PQ|=x₁+x₂+2，由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，相減得，y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），求得直線斜率k，求得直線PQ的方程，代入求得M點(diǎn)坐標(biāo)，求得|MF|，則$\frac{丨FR丨}{丨PQ丨}$=$\frac{1}{2}$，即可求得λ．

解答 解：拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)F為（1，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則根據(jù)拋物線的定義得：|PQ|=x₁+x₂+2，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，相減得，y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
則線段PQ的中垂線的方程為：y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{2p}$（x-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
令y=0，得M的橫坐標(biāo)為2+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，又F（1，0），
∴|MF|=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{2}$，
則$\frac{丨FR丨}{丨PQ丨}$=$\frac{1}{2}$．
|MF|=$\frac{1}{2}$|PQ|，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，直線的斜率公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．