Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點A（2，1），離心率為

2

2

，過點B（3，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求

BM

•

BN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率為

2

2

，可設(shè)c=

2

t， a=2t，則b=

2

t，利用

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點A（2，1）可得

4

4t2

+

1

2t2

=1，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），與橢圓方程聯(lián)立

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

，利用韋達定理及用坐標表示向量，即可確定

BM

•

BN

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由離心率為

2

2

，可設(shè)c=

2

t， a=2t，則b=

2

t
因為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點A（2，1）
所以

4

4t2

+

1

2t2

=1，解得t2=

3

2

，所以a²=6，b²=3
所以橢圓方程為

x2

6

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），
直線l與橢圓的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）…（5分）
由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

，消元整理得：（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0…（7分）
△=（12k²）²-4（1+2k²）（18k²-6）＞0得 0≤k²＜1…（8分）
x1+x2=

12k2

1+2k2

，x1x2=

18k2-6

1+2k2

…（9分）
∴

BM

•

BN

=（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂…（10分）
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]=(1+k2)×

3

1+2k2

=

3

2

(1+

1

1+2k2

)…（11分）
因為0≤k²＜1，所以2＜

3

2

(1+

1

1+2k2

)≤3
所以

BM

•

BN

的取值范圍是（2，3]．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達定理進行解題．