Question

（2011•河北區(qū)一模）設函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(m-1)x2+x+2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有2個極值點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的取值，討論函數(shù)的單調性．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有2個極值點，對應f'（x）=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個不等實根，然后利用根的分布去求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²+（m+1）x+1，…（2分）
①當△≤0，即（m-1）²-4≤0，-1≤m≤3時，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調遞增；…（4分）
②當△＞0，即m＜-1或m＞3時，
令f'（x）=0，解得x=

1-m± m2-2m-3

2

，…（6分）
所以，函數(shù)f（x）在(-∞，

1-m- m2-2m-3

2

)內(nèi)單調遞增；
在(

1-m- m2-2m-3

2

，

1-m+ m2-2m-3

2

)內(nèi)單調遞減；
在(

1-m+ m2-2m-3

2

，+∞)內(nèi)單調遞增．…（8分）
（Ⅱ）若f'（x）=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個不等實根，
得

△＞0 0＜ 1-m 2 ＜2 f(2)＞0 f(1)＞0.

，解得-

3

2

＜m＜-1．…（13分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，對應參數(shù)問題，必須要對參數(shù)進行討論．