設(shè)曲線C:的離心率為,右準(zhǔn)線與兩漸近線交于P,Q兩點(diǎn),其右焦點(diǎn)為F,且△PQF為等邊三角形。
(1)求雙曲線C的離心率;
(2)若雙曲線C被直線截得弦長為,求雙曲線方程;
(3)設(shè)雙曲線C經(jīng)過,以F為左焦點(diǎn),為左準(zhǔn)線的橢圓的短軸端點(diǎn)為B,求BF 中點(diǎn)的軌跡N方程。
(1)2
(2)或
(3)(或)
⑴如圖:易得P
設(shè)右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為M,
∵△PQF為等邊三角形
∴|MF|=|PM|
∴
化簡得:
∴
∴
⑵ 由⑴知:
∴雙曲線方程可化為:,即
聯(lián)列方程:
消去得:
由題意: (*)
設(shè)兩交點(diǎn)A,B
則
∴|AB|==
化簡得:,即
解得:或,均滿足(*)式
∴ 或
∴所求雙曲線方程為:或
⑶由⑴知雙曲線C可設(shè)為:
∵其過點(diǎn)A ∴
∴雙曲線C為:
∴其右焦點(diǎn)F,右準(zhǔn)線:
設(shè)BF的中點(diǎn)N,則B
由橢圓定義得:(其中為點(diǎn)B到的距離)
∴
化簡得:
∵點(diǎn)B是橢圓的短軸端點(diǎn),故
∴BF的中點(diǎn)的軌跡方程是:(或)
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