設(shè)曲線C:的離心率為,右準(zhǔn)線與兩漸近線交于P,Q兩點(diǎn),其右焦點(diǎn)為F,且△PQF為等邊三角形。

 (1)求雙曲線C的離心率;

 (2)若雙曲線C被直線截得弦長為,求雙曲線方程;

   (3)設(shè)雙曲線C經(jīng)過,以F為左焦點(diǎn),為左準(zhǔn)線的橢圓的短軸端點(diǎn)為B,求BF 中點(diǎn)的軌跡N方程。

(1)2

(2)

(3)(或


解析:

⑴如圖:易得P                           

設(shè)右準(zhǔn)線軸的交點(diǎn)為M,

∵△PQF為等邊三角形

∴|MF|=|PM|                                   

化簡得:                                       

            

 ⑵ 由⑴知:

∴雙曲線方程可化為:,即   

聯(lián)列方程:

消去得:

由題意:    (*)                           

設(shè)兩交點(diǎn)A,B

∴|AB|==

化簡得:,即

解得:,均滿足(*)式              

  或

∴所求雙曲線方程為:   

  ⑶由⑴知雙曲線C可設(shè)為:

∵其過點(diǎn)A      ∴

∴雙曲線C為:                          

∴其右焦點(diǎn)F,右準(zhǔn)線

設(shè)BF的中點(diǎn)N,則B                

由橢圓定義得:(其中為點(diǎn)B到的距離)

化簡得:

∵點(diǎn)B是橢圓的短軸端點(diǎn),故

∴BF的中點(diǎn)的軌跡方程是:(或

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