Question

已知直線L：kx－y＋1＋2k＝0.

(1)求證：直線L過定點；

(2)若直線L交x軸負半軸于點A，交y正半軸于點B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線L的方程．

 

Answer 1

(1)定點(－2，1); (2) x－2y＋4＝0.

【解析】

試題分析：(1)由直線系方程: 恒過兩直線: 與的交點可知:只需將直線L的方程改寫成: 知直線L恒過直線與的交點(-2,1),從而問題得證;(2)先用k將點A和點B的坐標表示出來，由直線L交x軸負半軸于點A，交y正半軸于點B知：k>0;然后再用含k的代數(shù)式將△AOB的面積為S表達出來，得到S是k的函數(shù)，再利用基本不等式就可求得使S取得最小值對應的k的值，從而就可寫出直線L的方程.

試題解析：(1)證明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0， 3分

令 x＋2=0 ， 1－y=0

得: x=-2 ， y=1

∴無論k取何值，直線過定點(－2，1) 5分

(2)【解析】
令y＝0得：A點坐標為

令x＝0得：B點坐標為(0，2k＋1)(k>0)， 7分

∴S△AOB＝ |2k＋1|＝ (2k＋1)

＝≥ (4＋4)＝4 .10分

當且僅當4k＝，即k＝時取等號．

即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0，

即 x－2y＋4＝0. 12分

考點：1.直線方程;2.基本不等式.